以某減速器齒輪軸為研究對(duì)象，利用有限元法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析，通過(guò)模態(tài)分析得出齒輪軸的固有頻率和振型等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，通過(guò)諧響應(yīng)分析得出對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響**的模態(tài)；以該模態(tài)周有頻率為目標(biāo)參教，利用正交設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)法對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析。通過(guò)分析得出，齒輪軸的前六階模態(tài)振型具有如下特點(diǎn)：第1階和第2階振型為齒輪軸的一階彎曲振型，第3階振型為齒輪軸的扭轉(zhuǎn)振型，第4、5、6階振型為齒輪軸的二階彎曲振型，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性影響**的模態(tài)為第1階模態(tài)，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性影響較大的結(jié)構(gòu)參數(shù)為l₁、l₅、d₁、d₃、d₄、d₅。

齒輪軸是減速器重要組成部分，在減速器運(yùn)行過(guò)程中主要承擔(dān)傳遞動(dòng)力和速度的作用。由于制造加工和安裝方面的誤差等原因，齒輪軸在傳動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)激勵(lì)，從而造成減速器在運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)復(fù)雜的振動(dòng)。振動(dòng)對(duì)設(shè)備結(jié)構(gòu)的危害很多，如儀器設(shè)備的工作失靈問(wèn)題、結(jié)構(gòu)的振動(dòng)強(qiáng)度問(wèn)題、人員的健康損失和工效性問(wèn)題、復(fù)雜設(shè)備系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性問(wèn)題、振動(dòng)產(chǎn)生噪聲及污染環(huán)境等。當(dāng)齒輪軸產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)激勵(lì)載荷頻率與減速器整體的固有頻率接近或一致時(shí)，容易出現(xiàn)共振而引發(fā)整機(jī)結(jié)構(gòu)更大的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，甚至造成減速器更大的破壞。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)一般都會(huì)研究其動(dòng)態(tài)特性的影響或結(jié)構(gòu)在外界激勵(lì)載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此在進(jìn)行齒輪軸設(shè)計(jì)時(shí)必須對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，另外在對(duì)齒輪軸進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的參數(shù)也不少，如果將全部參數(shù)都考慮進(jìn)去，會(huì)降低設(shè)計(jì)效率。靈敏度分析則能幫助篩選出對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響較大的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為后續(xù)設(shè)計(jì)提供參考。

齒輪軸結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元方程描述為：

式中：[M]、[C]、[K]分別為齒輪軸的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；分別為齒輪軸的節(jié)點(diǎn)載荷、位移、速度和加速度列陣。

在進(jìn)行齒輪軸的模態(tài)分析時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)看成是不受外力作用的自由振動(dòng)系統(tǒng)，并且忽略阻尼的影響（即將該齒輪軸看成無(wú)阻尼自由 振動(dòng)系統(tǒng)），則其振動(dòng)方程可描述為：

由于彈性體的自由振動(dòng)可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，在本文中假設(shè)齒輪軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則式（2）的解可為：

 式中：ω為角頻率；φ為初相角；{A}為非零振幅列陣。

將式（3）代入式（2）整理后得：

求解式（4）可得齒輪軸的固有頻率和振型。

根據(jù)模態(tài)理論可知，對(duì)齒輪軸結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響較大的是低階模態(tài)，高階模態(tài)對(duì)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的貢獻(xiàn)相對(duì)較小，因此本文主要分析齒輪軸的前六階模態(tài)。利用有限元軟件ANSYS 建立齒輪軸的有限元模型（圖2 ），使用Solid 45 單元模擬，采用掃掠網(wǎng)格劃分方式對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，整個(gè)模型被離散成8912個(gè)單元、9641 個(gè)節(jié)點(diǎn)。在分析前約束齒輪軸左右兩端軸承安裝部位的平動(dòng)自由度，根據(jù)蘭斯索斯法，提取齒輪軸的前六階模態(tài)，表1給出了齒輪軸前六階固有頻率，對(duì)應(yīng)的振型如圖3所示。

02

基于有限元法的齒輪軸諧響應(yīng)分析

對(duì)齒輪軸的諧響應(yīng)分析是用于確定齒輪軸在承受簡(jiǎn)諧載荷時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種技術(shù)，分析目的是計(jì)算出齒輪軸在幾種頻率下的響應(yīng)，并得到一些響應(yīng)值（通常是位移）對(duì)頻率的曲線。利用有限元軟件ANSYS對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析的方法有完全法、縮減法、模態(tài)疊加法，為了便于求解，本文選擇利用完全法對(duì)齒輪軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析。

分析過(guò)程中，模擬實(shí)際情況對(duì)齒輪軸進(jìn)行約束和加載。對(duì)左右兩端軸承安裝部位約束三個(gè)方向的平動(dòng)自由度，在斜齒圓柱齒輪和錐齒輪安裝部位施加徑向載荷。根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，將載荷頻率范圍設(shè)置為0 ~ 13000 Hz，主要考察齒輪軸上斜齒圓柱齒輪和錐齒輪安裝部位在豎直方向的振動(dòng)幅值，通過(guò)分析得到齒輪軸的響應(yīng)幅值隨載荷頻率變化的曲線如圖4所示，可以看出，上述兩個(gè)位置的**響應(yīng)幅值均發(fā)生在激勵(lì)頻率為4800 Hz處，與齒輪軸的**階固有頻率接近，因此可以認(rèn)為對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響**的模態(tài)為第1階模態(tài)。

03

齒輪軸動(dòng)態(tài)特性靈敏度分析

靈敏度分析是指模型輸出量受輸入量變化的影響及模型本身受輸入量變化的影響。機(jī)械結(jié)構(gòu)靈敏度分析的主要研究對(duì)象之一是結(jié)構(gòu)參數(shù)或設(shè)計(jì)變量的改變對(duì)力學(xué)特性影響的靈敏程度。根據(jù)模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析結(jié)果，以對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響**的模態(tài)固有頻率， 即第1階模態(tài)固有頻率為目標(biāo)參數(shù)，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的靈敏度。分析前將齒輪軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)定義成11個(gè)設(shè)計(jì)變量。利用正交設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)法，對(duì)齒輪軸的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行靈敏度分析。每個(gè)設(shè)計(jì)變量定義三個(gè)水平值(表2)，選取十三因素三水平表，設(shè)計(jì)27組實(shí)驗(yàn)(表3) 。試驗(yàn)后通過(guò)極差分析得出各結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度，極差越大說(shuō)明該設(shè)計(jì)變量即對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響越大?？梢钥闯觯琹₁、l₅對(duì)齒輪軸的動(dòng)態(tài)特性影響較大，其次為d₁、d₃、d₄、d₅，相對(duì)而言l₃、d₂、l₆、l₂、l₄對(duì)動(dòng)態(tài)特性影響較小，所以在對(duì)齒輪軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮參數(shù)l₁、l_5、d₁、d₃、d₄、d₅。

04

結(jié)論

以某減速器齒輪軸為例，利用有限元法進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性和諧響應(yīng)分析，在分析結(jié)果基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)靈敏度分析，得出結(jié)論：

（1）齒輪軸的前六階模態(tài)固有頻率分別為 4718.1、5070.4、6734.5、10104、11949、12659 Hz，對(duì)應(yīng)各階振型的特點(diǎn)為，第1、2階振型為齒輪軸的一階彎曲振型，第3階振型為齒輪軸的扭轉(zhuǎn)振型，第4、5、6階振型為齒輪軸的二階彎曲振型。

（2）對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響**的模態(tài)為第1階模態(tài)。

（3）對(duì)齒輪軸動(dòng)態(tài)特性影響較大結(jié)構(gòu)參數(shù)有l(wèi)₁、l_5、d₁、d₃、d₄、d₅。